Рассмотрим пути и подстановки.
1) Пути параболы $y=k{x}^2$. Подстановка даёт
$$f(x,k{x}^2)=\frac{x^2\cdot k{x}^2}{x^4+k^2{x}^4}=\frac{k}{1+k^2},$$ поэтому при $(x,y)\to (0,0)$ по $y=k{x}^2$ предел равен $\frac{k}{1+k^2}$. Например, при $k=0$ получаем $0$, при $k=1$ — $\frac{1}{2}$, при $k=-1$ — $-\frac{1}{2}$.
2) Прямые $y=ax$. Подстановка даёт
$$f(x,ax)=\frac{a{x}^3}{x^4+a^2{x}^2}=\frac{ax}{x^2+a^2}\to 0(x\to 0).$$ То есть по любой прямой через начало предел $0$.
Вывод: поскольку пределы вдоль парабол $y=k{x}^2$ зависят от параметра $k$ (разные значения при $k=0$ и $k=1$ и т.д.), предела функции $f(x,y)$ в точке $(0,0)$ в общем смысле не существует. Тест: разные пределы вдоль двух путей (например, $y=0$ и $y=x^2$) → общего предела нет.