Кратко: утверждение «произведение двух иррациональных чисел всегда иррационально» ложно. Ниже — анализ типичного ошибочного доказательства, контрпримеры и корректные утверждения с доказательствами.
1) Типичное (ошибочное) доказательство и ошибка.
- Попытка: Пусть $a,b$ иррациональны. Предположим для противоречия, что $ab\in \mathbb{Q}$. Обозначим $ab=q\in \mathbb{Q}$. Тогда $a=\frac{q}{b}$. Поскольку $q$ рационально и $b$ иррационально, делают вывод, что $\frac{q}{b}$ рационально, значит $a$ рационально — противоречие.
- Ошибка: некорректно утверждать, что «рациональное, делённое на иррациональное, обязательно рационально». Это неверно: дробь может быть иррациональной. Пример: $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ — иррационально. В доказательстве сделали неверный переход на свойство деления рационального на иррациональное.
2) Контрпримеры (показывают ложность исходного утверждения).
- $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ — оба иррациональны, но $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\in \mathbb{Q}$.
- $\sqrt{2}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — оба иррациональны, но $\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=1\in \mathbb{Q}$.
- Для примера продукта, который остаётся иррациональным: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$, и $\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}$.
3) Общая корректная формулировка и связанные утверждения.
- Факт: для иррациональных $a,b$ продукт может быть и рациональным, и иррациональным; общего утверждения «всегда иррационально» нет.
- Конструкция контрпримера в общем виде: для любого иррационального $x$ и любого ненулевого рационального $q$ положим $y=\frac{q}{x}$. Тогда $y$ иррационально (потому что если бы $y$ было рационально, то $x=\frac{q}{y}$ был бы рационален), и при этом $xy=q\in \mathbb{Q}$. Значит для любого иррационального $x$ существуют иррациональные $y$ с рациональным произведением $xy$.
- Правильное полезное утверждение: если $r\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ и $x\notin \mathbb{Q}$, то $rx\notin \mathbb{Q}$. Доказательство: допустим $rx\in \mathbb{Q}$; тогда $x=\frac{rx}{r}\in \mathbb{Q}$ — противоречие.
4) Вывод.
- Нельзя утверждать, что произведение двух иррационалов всегда иррационально. Неправильный шаг в ошибочных доказательствах — некорректное использование свойств деления «рациональное/иррациональное». Правильные утверждения дают условия, при которых произведение гарантированно иррационально (например, ненулевой рационал умноженный на иррационал даёт иррационал), но в общем случае продукт двух иррационалов может быть как рациональным, так и иррациональным.