Дана задача: найти наибольшую и наименьшую длину стороны в треугольнике с фиксированным радиусом вписанной окружности r и полупериметром p — разработайте метод решения и проанализируйте случаи экстремума
Дана задача: найти наибольшую и наименьшую длину стороны в треугольнике с фиксированным радиусом вписанной окружности r и полупериметром p — разработайте метод решения и проанализируйте случаи экстремума
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
1) Записать параметры: площадь S=rpS=rpS=rp. По формуле Герона
S=p(p−a)(p−b)(p−c). S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
S=p(p−a)(p−b)(p−c) . Отсюда
r2p2=p(p−a)(p−b)(p−c)⇒(p−a)(p−b)(p−c)=r2p. r^2p^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\quad\Rightarrow\quad (p-a)(p-b)(p-c)=r^2p.
r2p2=p(p−a)(p−b)(p−c)⇒(p−a)(p−b)(p−c)=r2p.
2) Введите переменные
x=p−a,y=p−b,z=p−c, x=p-a,\qquad y=p-b,\qquad z=p-c,
x=p−a,y=p−b,z=p−c, тогда
x+y+z=p,xyz=r2p, x+y+z=p,\qquad xyz=r^2p,
x+y+z=p,xyz=r2p, и стороны выражаются как a=p−xa=p-xa=p−x, b=p−yb=p-yb=p−y, c=p−zc=p-zc=p−z.
3) Условия достижимости и экстремумов. Для фиксированного xxx имеем y+z=p−xy+z=p-xy+z=p−x и yz=r2pxyz=\dfrac{r^2p}{x}yz=xr2p . По неравенству среднего и геометрического
yz≤(y+z2)2=(p−x2)2, yz\le\Big(\frac{y+z}{2}\Big)^2=\Big(\frac{p-x}{2}\Big)^2,
yz≤(2y+z )2=(2p−x )2, то есть допустимый xxx должен удовлетворять
r2px≤(p−x2)2⇔x(p−x)2≥4r2p. \frac{r^2p}{x}\le\Big(\frac{p-x}{2}\Big)^2\quad\Leftrightarrow\quad x(p-x)^2\ge 4r^2p.
xr2p ≤(2p−x )2⇔x(p−x)2≥4r2p. Равенство достигается при y=zy=zy=z. Следовательно экстремальные значения сторон достигаются на изосcelевых треугольниках y=zy=zy=z (две равные стороны).
4) Уравнение для граничных значений. При y=z=(p−x)/2y=z=(p-x)/2y=z=(p−x)/2 имеем
x(p−x2)2=r2p⇔x(p−x)2=4r2p. x\Big(\frac{p-x}{2}\Big)^2=r^2p\quad\Leftrightarrow\quad x(p-x)^2=4r^2p.
x(2p−x )2=r2p⇔x(p−x)2=4r2p. Пусть t=xpt=\dfrac{x}{p}t=px и ρ=rp\rho=\dfrac{r}{p}ρ=pr . Тогда
t(1−t)2=4ρ2. t(1-t)^2=4\rho^2.
t(1−t)2=4ρ2. Для заданного ρ\rhoρ на интервале 0<t<10< t<10<t<1 это уравнение имеет либо два решения t1<t2t_1<t_2t1 <t2 (если 4ρ2<maxtt(1−t)2=4/274\rho^2<\max_{t}t(1-t)^2=4/274ρ2<maxt t(1−t)2=4/27), либо одно (кратное) решение t=1/3t=1/3t=1/3 при 4ρ2=4/274\rho^2=4/274ρ2=4/27. Следовательно условие существования невырожденного треугольника
ρ≤39⇔r≤p39, \rho\le\frac{\sqrt3}{9}\quad\Leftrightarrow\quad r\le \frac{p\sqrt3}{9},
ρ≤93 ⇔r≤9p3 , и при равенстве треугольник равносторонний.
5) Выражение экстремальных сторон. Для решения уравнения получаем два граничных значения t1,t2t_1,t_2t1 ,t2 . Соответствующие стороны (при y=zy=zy=z) равны
a=p−x=p(1−t),b=c=p+x2=p1+t2. a=p-x=p(1-t),\qquad b=c=\frac{p+x}{2}=p\frac{1+t}{2}.
a=p−x=p(1−t),b=c=2p+x =p21+t . Меньший корень t1t_1t1 даёт максимальное значение amax=p(1−t1)a_{\max}=p(1-t_1)amax =p(1−t1 ), больший t2t_2t2 даёт минимальное amin=p(1−t2)a_{\min}=p(1-t_2)amin =p(1−t2 ). Аналогично для длин равных сторон: при выборе соответствующего корня они равны p(1+ti)/2p(1+t_i)/2p(1+ti )/2.
6) Частные случаи:
- Равносторонний треугольник: ρ=39\rho=\dfrac{\sqrt3}{9}ρ=93 , t=1/3t=1/3t=1/3, все стороны =2p/3=2p/3=2p/3.
- Для малых rrr два различных корня t1<t2t_1<t_2t1 <t2 дают диапазон возможных значений каждой стороны; экстремумы достигаются только на изосcelевых треугольниках.
Замечание: явное радикальное выражение корней t1,2t_{1,2}t1,2 даёт громоздкий вид (решение кубического), поэтому удобнее находить t1,2t_{1,2}t1,2 численно из уравнения t(1−t)2=4(r/p)2t(1-t)^2=4(r/p)^2t(1−t)2=4(r/p)2.