Рассмотрим интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$.
1) Сходимость (условная). Два стандартных доказательства.
- По тесту Дирихле. Пусть $F(R)={\int }_1^R\sin xdx=-\cos R+\cos 1$ — ограниченная функция по $R$, а $g(x)=1/x$ монотонно убывает к 0 при $x\to \infty$. Тогда по тесту Дирихле интеграл сходится.
- Интегрированием по частям. Пусть $u=1/x,dv=\sin xdx$. Тогда
∫1Rsin⁡xx dx=−cos⁡xx∣1R−∫1Rcos⁡xx2 dx=−cos⁡RR+cos⁡1−∫1Rcos⁡xx2 dx. \int_1^R\frac{\sin x}{x}\,dx=\Bigl.-\frac{\cos x}{x}\Bigr|_{1}^{R}-\int_1^{R}\frac{\cos x}{x^2}\,dx
=-\frac{\cos R}{R}+\cos 1-\int_1^{R}\frac{\cos x}{x^2}\,dx.
∫1R xsinx dx=−xcosx 1R −∫1R x2cosx dx=−RcosR +cos1−∫1R x2cosx dx. При $R\to \infty$ первый член стремится к 0, а второй интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{\cos x}{x^2}dx$ сходится абсолютно (так как $|\cos x|/x^2\le 1/x^2$ и ${\int }_1^{\infty }1/x^2<\infty$). Значит предел существует, интеграл сходится.
2) Отсутствие абсолютной сходимости. Рассмотрим
$${\int }_1^{\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx=\sum _{n\ge N}{\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \sum _{n\ge N}\frac{{\int }_0^{\pi }|\sin t|dt}{(n+1)\pi }=\frac{2}{\pi }\sum _{n\ge N}\frac{1}{n+1},$$ поскольку ${\int }_0^{\pi }|\sin t|dt=2$. Правая сумма ведёт себя как гармонический ряд и расходится, значит исходный интеграл расходится по модулю. Следовательно сходимость условная.
3) Оценки хвоста (осциллирующая часть). Для остатка
$$R(T)={\int }_T^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$$ из формулы после интегрирования по частям получаем
$$R(T)=\frac{\cos T}{T}-{\int }_T^{\infty }\frac{\cos x}{x^2}dx,$$ откуда
$$|R(T)|\le \frac{1}{T}+{\int }_T^{\infty }\frac{1}{x^2}dx=\frac{2}{T}.$$ Таким образом хвост убывает как $O(1/T)$ (можно улучшать константу с учётом осцилляций).
4) Значение через специальные функции. Если ввести синус-интеграл $\mathrm{Si}(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt$ и использовать $\mathrm{Si}(\infty )=\pi /2$, то
$${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\mathrm{Si}(\infty )-\mathrm{Si}(1)=\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(1).$$
Вывод: интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ сходится условно (не абсолютно); стандартные доказательства — тесты Дирихле или интегрирование по частям; остаток оценивается как $O(1/T)$.