Коротко — главное с условиями и примерами.
1) Что значит «ряд Тейлора совпадает с функцией в окрестности точки»
- Функция $f$ называется (реально-)аналитической в точке $x_0$, если существует радиус $R>0$ такой, что для всех $x$ с $|x-x_0|<R$ $$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$ Это эквивалентно тому, что ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости и сумма ряда равна $f$ в этом интервале.
2) Условия, гарантирующие совпадение (достаточные и характеризация)
- Достаточное условие (оценка производных): если существуют $M,R>0$ такие, что для всех $n$ $$|f^{(n)}(x_0)|\le M\frac{n!}{R^n},$$ то ряд Тейлора имеет радиус сходимости $\ge R$ и равен $f$ при $|x-x_0|<R$ (остаток стремится к нулю).
- Эквивалентная и часто используемая характеристика: $f$ аналитична в некоторой окрестности $x_0$ тогда и только тогда, когда она допускает голоморфное продолжение в комплексной окрестности точки; радиус сходимости ряда равен расстоянию от $x_0$ до ближайшей комплексной сингулярности.
3) Роль остатка Тейлора (критерий совпадения)
- Формула Лагранжа для остатка:
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$ Если для фиксированного $x$ при $n\to \infty$ имеем $R_n(x)\to 0$, то ряд сходится к $f(x)$. Для равномерного на окрестности сходимости нужно оценивать $R_n$ на всём интервале.
4) Примеры
- Пример, где ряд совпадает с функцией: $f(x)=e^x$ в окрестности $0$,
$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},$$ ряд сходится для всех $x$ и равен $f(x)$. Аналогично $1/(1-x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$ при $|x|<1$.
- Пример, где все производные в точке существуют, но ряд не совпадает с функцией на любой окрестности: положим
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$$ Тогда для всех $n$ $f^{(n)}(0)=0$, следовательно ряд Тейлора в $0$ тождественно равен $0$, он сходится (всюду), но не равен $f(x)$ в любой окрестности $0$ (поскольку $f(x)>0$ при $x\ne 0$). То есть $f$ бесконечно дифференцируема, но не аналитична в $0$.
- Ещё: по теореме Бореля для любой формальной степенной серии $\sum a_n{x}^n$ существует $C^{\infty }$-функция с заданными производными в $0$, так что можно сконструировать примеры с нулевым радиусом сходимости или с рядоми, расходящимися или не совпадающими с функцией.
5) Итог (кратко)
- Необходимое и достаточное условие совпадения: $f$ аналитична в окрестности точки (эквивалентно — ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости и остаток стремится к нулю на этой окрестности).
- Наличие всех производных (бесконечной дифференцируемости) не гарантирует совпадения ряда с функцией (пример $e^{-1/x^2}$).