Обозначим $p=\frac{N}{N+M}$ и общее число шаров $T=N+M$.
Ожидание:
- При извлечении с возвращением (биномиальная модель) число белых $X\sim \mathrm{Bin}(k,p)$, поэтому
$$\mathbb{E}[X]=kp.$$ - При извлечении без возвращения (гипергеометрическая модель) число белых $Y$ имеет параметры $(T,N,k)$, и
$$\mathbb{E}[Y]=kp.$$ Итого: ожидания в обеих моделях одинаковы: $\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y]=kp$.
Дисперсии:
- С возвращением
$$\mathrm{Var}(X)=kp(1-p).$$ - Без возвращения (гипергеометрическое) справедлива формула с поправкой на конечную совокупность (FPC):
$$\mathrm{Var}(Y)=kp(1-p)\frac{T-k}{T-1}.$$ Зависимость и интерпретация:
- $\frac{T-k}{T-1}\le 1$, поэтому $\mathrm{Var}(Y)\le \mathrm{Var}(X)$. Без возвращения дисперсия меньше из‑за отрицательной корреляции между отдельными вытаскиваниями.
- При $k\ll T$ фактор $\frac{T-k}{T-1}\approx 1$, дисперсии почти равны.
- При $k\to T$ фактор $\to 0$, $\mathrm{Var}(Y)\to 0$ (вся совокупность извлечена).
- Для $k=1$ обе дисперсии совпадают (т.к. фактор равен 1).
Краткая схема вывода для без возвращения: представить $Y={\sum }_{i=1}^k{I}_i$, где $I_i$ — индикатор белого в i‑м вытаскивании; $\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=-\frac{p(1-p)}{T-1}$, подставив в $\mathrm{Var}(Y)=\sum \mathrm{Var}(I_i)+2{\sum }_{i<j}\mathrm{Cov}(I_i,I_j)$ получаем указанную формулу.