Задача. Построить биссектрису угла $\angle BAC$ с помощью только циркуля и линейки.
Построение (кратко):
1. От вершины $A$ описать окружность радиуса $r>0$, она пересечёт стороны лучи $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $F$.
2. Из точек $E$ и $F$ описать две окружности одного радиуса $s$, причём выбрать $s$ так, чтобы эти окружности пересекались (достаточно $s>\frac{EF}{2}$). Обозначим одну из точек пересечения как $X$.
3. Провести прямую $AX$. Прямая $AX$ — искомая биссектриса $\angle BAC$.
Доказательство корректности:
- По построению $|AE|=|AF|=r$.
- По построению $|XE|=|XF|=s$, значит точка $X$ лежит на перпендикулярном биссекторе отрезка $EF$.
- В окружности с центром $A$ отрезок $EF$ — хорда, и центр $A$ лежит на перпендикулярном биссекторе хорды $EF$. Следовательно $A$ и $X$ лежат на одной прямой (перпендикулярном биссекторе $EF$), то есть прямая $AX$ — та же самая перпендикулярная биссектор.
- Рассмотрим треугольники $△AEX$ и $△AFX$. У них $|AE|=|AF|$, $|XE|=|XF|$, и общий катет $AX$. По признаку равенства трёх сторон эти треугольники равны, поэтому $\angle EAX=\angle XAF$. Значит $AX$ делит угол $\angle BAC$ пополам, т.е. является биссектрисой.
Условия существования: нужно взять $r>0$ (чтобы $E\ne F$) и $s>EF/2$ (чтобы окружности из $E$ и $F$ пересекались).
Пример вырождения / когда простая (ошибочная) стратегия даёт неверный результат:
- Частая «простая» стратегия: взять произвольные точки $E\in AB$ и $F\in AC$, построить середину $M$ отрезка $EF$ и провести прямую $AM$, полагая, что она биссектриса. Это неверно, если $AE\ne AF$.
- Конкретная конфигурация: положим $A=(0,0)$, луч $AB$ вдоль оси $x$, луч $AC$ под углом $60^{\circ }$. Возьмём
$$E=(1,0),F=0.2\cdot (\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ })=(0.1,0.1\sqrt{3}).$$ Тогда середина
$$M=(\frac{1+0.1}{2},\frac{0+0.1\sqrt{3}}{2})=(0.55,0.05\sqrt{3}).$$ Угол между $AM$ и лучом $AB$ равен
$$\arctan \left(\frac{0.05\sqrt{3}}{0.55}\right)=\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{11}\right)\approx 9^{\circ },$$ тогда вторая часть угла $\angle BAC=60^{\circ }$ составляет примерно $60^{\circ }-9^{\circ }\approx 51^{\circ }$. Это не равно $30^{\circ }$, значит прямая $AM$ не является биссектрисой.
- Вывод: важно выбирать точки $E$ и $F$ симметрично относительно вершины (например, как пересечения одной окружности с лучами), иначе перпендикулярный биссектор отрезка $EF$ не будет проходить через $A$ и построение даст ошибку.