1) sin(2x) >= 0
Для того чтобы найти решение данного неравенства, нужно рассмотреть области значений синуса:
sin(2x) >= 0
Синус положителен в первом и во втором квадрантах. Значит, нужно рассмотреть углы в этих квадрантах, в которых синус положителен:
0 <= 2x <= pi (в первом квадранте)
pi <= 2x <= 2pi (во втором квадранте)

Ответ: x ∈ [0, pi/2] ∪ [pi, 3pi/2]

2) cos(3x) >= 0
cos(3x) >= 0
Аналогично предыдущему неравенству, рассмотрим области значений косинуса:
cos(3x) >= 0
Косинус положителен в первом и в четвертом квадрантах. Нужно найти значения углов, в которых это неравенство выполняется:
0 <= 3x <= pi/2 (в первом квадранте)
3pi/2 <= 3x <= 2pi (в четвертом квадранте)

Ответ: x ∈ [0, pi/6] ∪ [pi/2, 5pi/6]

3) tx(2x - 5π/6) > 0
Для того чтобы решить это неравенство, нужно рассмотреть знаки функции tang(x) и исследовать участки, где произведение будет положительным.

Для tang(x) > 0, x принадлежит интервалам: (0, π) и (2π, 3π) включая границы.

Для 2x - 5π/6 > 0, x > 5π/12.

Интервалы пересекаются в промежутке от 5π/12 до π.

Ответ: x ∈ (5π/12, π) ∪ (2π, 3π)

4) ctg(2x + π/3) >= 0
Для решения данного неравенства нужно рассмотреть области, где котангенс положителен.

Котангенс положителен в первом и третьем квадрантах, а также при значениях разницы аргумента и π/2, т.е. при 2х + π/3 = (k + 1)π, где k-целое число

2x + π/3 = (k + 1)π,
2x = (k + 1)π - π/3,
x = ((k + 1)π - π/3) / 2

Ответ: x = ((k + 1)π - π/3) / 2 + πk, k - целое число.