Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения можно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Уравнение имеет вид y’’ - 4y’ + 4y = (e^(2x))/x^3.

Пусть частное решение имеет вид y_p = A(x)e^(2x), где A(x) - некоторая функция, которую нужно найти.

Тогда y_p’ = (A’(x) + 2A(x))e^(2x),
y_p’’ = (A’’(x) + 4A’(x) + 4A(x))e^(2x).

Подставляя частное решение в исходное уравнение, получаем:

(A’’(x) + 4A’(x) + 4A(x) - 4(A’(x) + 2A(x)) + 4A(x))e^(2x) = (e^(2x))/x^3.

Упрощаем выражение:

A’’(x) - 2A’(x) = 1/x^3.

Интегрируя это уравнение дважды, найдем A(x).

A'(x) = -1/x^2 + C,
A(x) = 1/x + Cx + D.

Таким образом, частное решение уравнения y’’ - 4y’ + 4y = (e^(2x))/x^3 имеет вид:

y_p = (1/x + Cx + D)e^(2x), где C, D - произвольные постоянные.