Наименьшее значение может иметь произведение mnp, если мы найдем наименьшие такие значения m, n и p, которые удовлетворяют данным условиям.

Из условия mn делится на 2p, np делится на 3m и pm делится на 5n, можно получить, что p делится на 2, m делится на 3, и n делится на 5.

Если p делится на 2, то p = 2. Если m делится на 3, то m = 3. Если n делится на 5, то n = 5.

Таким образом, m = 3, n = 5, p = 2. Произведение mnp = 3 5 2 = 30.

Ответ: наименьшее значение произведения mnp равно 30.