Z=x^2+9xy+y^2+27

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции Z в данном диапазоне необходимо найти критические точки и значения на границах области.

Найдем частные производные функции Z по x и y:
dZ/dx = 2x + 9y
dZ/dy = 9x + 2y

Найдем критические точки, приравняв производные к нулю:
2x + 9y = 0
9x + 2y = 0

Решая эту систему уравнений, получаем x = 0 и y = 0. Одна критическая точка находится внутри области возможных значений.

Найдем значения функции Z в угловых точках области (0,0), (3,0), (0,3), (3,3):
Z(0,0) = 27
Z(3,0) = 27
Z(0,3) = 27
Z(3,3) = 117

Итак, наименьшее значение функции Z в области равно 27 (достигается в точках (0,0), (3,0), (0,3)), а наибольшее значение равно 117 (достигается в точке (3,3)).