Для исследования функции y=1/2x^2 - x - 4 можно воспользоваться производной функции.

Найдем производную функции y=1/2x^2 - x - 4:
y' = d/dx (1/2x^2 - x - 4)
y' = 2*(1/2)x - 1
y' = x - 1

Теперь рассмотрим точки экстремума функции, для этого найдем точки, в которых производная равна нулю:
x - 1 = 0
x = 1

Теперь проанализируем знак производной в окрестности точки x=1:

при x < 1 производная отрицательна (y' < 0), значит функция убываетпри x > 1 производная положительна (y' > 0), значит функция возрастает

Таким образом, точка x=1 является точкой минимума функции y=1/2x^2 - x - 4.

Для построения графика функции можно использовать программы для построения графиков, например, Python с библиотекой Matplotlib. Вот код для построения графика:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 1/2*x**2 - x - 4
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y=1/2x^2 - x - 4')
plt.grid(True)
plt.show()

Этот код создаст график функции y=1/2x^2 - x - 4 на интервале от -10 до 10.