Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;5;-2) и перпендикулярной прямой MN, нам нужно найти вектор нормали к этой плоскости.

Прямая MN задана двумя точками, значит вектор направления прямой можно найти как разность точек N и M:

n = N - M = (4;0;-1) - (3;5;-2) = (1; -5; 1)

Вектор нормали к плоскости будет задан координатами (a,b,c), где a,b,c - это координаты вектора n. Окончательно уравнение плоскости будет иметь вид:

a(x-3) + b(y-5) + c(z+2) = 0

Подставляем значения вектора n:

1(x-3) - 5(y-5) + 1(z+2) = 0

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

x - 3 - 5y +25 + z + 2 = 0

x - 5y + z + 24 = 0

Уравнение плоскости, проходящей через точку М(3;5;-2) и перпендикулярной прямой MN, определяемой точками N(4;0;-1) будет:
x - 5y + z + 24 = 0