Для начала найдем общее решение однородного уравнения:

y'' - 2y' + 5y = 0

Характеристическое уравнение: λ^2 - 2λ + 5 = 0

D = 4 - 4*5 = -16

λ1,2 = (2 ± i√16) / 2 = 1 ± 2i

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y(x) = e^x(Acos2x + Bsin2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде yp = Csinx + Dcosx:

y'p = Ccosx - Dsinx
y''p = -Csinx - Dcosx

Подставляем частное решение в уравнение:

(-Csinx - Dcosx) - 2(Ccosx - Dsinx) + 5(Csinx + Dcosx) = 10sinx

Решаем систему уравнений:

-C - 2D + 5C = 0
-D - 2C + 5D = 10

4C - 2D = 0
-2C + 4D = 10

C = 2
D = 1

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения равно yp = 2sinx + cosx

Полное решение задачи Коши:

y(x) = e^x(Acos2x + Bsin2x) + 2sinx + cosx

Подставляем начальные условия:

y(0) = A + 2 = 2 -> A = 0
y'(0) = 2B + 1 = 1 -> B = 0

Таким образом, искомое решение задачи Коши:

y(x) = 2sinx + cosx