Для решения данной задачи Коши воспользуемся методом разделения переменных.

Обозначим y' как dy/dx и поделим обе стороны уравнения на y':

y''/y' = dy'/dx = (2y*y') / (1 + y^2)

Теперь у нас есть уравнение в виде дроби, которое можно разделить на y*y':

dy / (1 + y^2) = 2dx

Интегрируем обе стороны:

∫ (dy / (1 + y^2)) = ∫ 2dx
arctan(y) = 2x + C₁

Теперь возьмем производную от обеих сторон:

d(arctan(y)) / dx = d(2x + C₁) / dx
(1 / (1 + y^2)) (dy / dx) = 2
(1 / (1 + y^2)) y' = 2

Подставляем начальные условия:

y(0) = 0, y'(0) = 1
arctan(0) = 2*0 + C₁
C₁ = 0

Таким образом, у нас получается уравнение:

arctan(y) = 2x

Отсюда можно найти значение y(x):

y = tan(2x)

Проверим, удовлетворяет ли это решение искомому уравнению с начальными условиями:

y' = 2sec^2(2x)

y'' = 8tan(2x)sec^2(2x)

Подставим в исходное уравнение:

(8tan(2x)sec^2(2x)) / (2sec^2(2x)) = (2tan(2x)*2sec^2(2x)) / (1 + tan^2(2x))
4tan(2x) = 4tan(2x)

Условия выполняются, значит, решение верное.