Для доказательства данного неравенства, преобразуем его в квадратичное выражение:

x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3 >= 0

Для удобства заменим x на a, а y на b:

a^2 - 2ab + 2b^2 - 2a + 3 >= 0

Далее, рассмотрим данное квадратичное выражение как функцию двух переменных a и b. Чтобы выяснить, когда это выражение больше или равно нулю, можно воспользоваться методом дискриминантов.

Дискриминант данного квадратичного выражения равен D = 4b^2 - 4(2b^2 - 2a + 3) = -4b^2 + 8a - 12

Теперь необходимо найти условия, при которых дискриминант D <= 0, что будет означать, что изначальное неравенство больше или равно нулю.

-4b^2 + 8a - 12 <= 0

Делаем вывод, что неравенство x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3 >= 0 верно для всех пар чисел (a, b), удовлетворяющих неравенству -4b^2 + 8a - 12 <= 0.