Уравнение касательной к графику функции y=2x^2+1 в точке x0=2:

Найдем производную функции y=2x^2+1:
y'=4x

Подставляем x=2:
y'(2)=4*2=8

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции y=2x^2+1 в точке x=2 равен 8.

Теперь найдем значение функции в этой точке:
y(2)=22^2+1=24+1=9

Уравнение касательной будет иметь вид y=8x+9.

a) Найдем производную функции f(x)=-x^3+3x+2:
f'(x)=-3x^2+3

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:
-3x^2+3=0
x^2=1
x=1 или x=-1

Таким образом, промежутки возрастания функции будут от -бесконечности до -1 и от 1 до +бесконечности.

Для поиска экстремумов определим знаки производной в окрестностях найденных точек:
При x=-1: f'(-1)=-3*(-1)^2+3=0
Знак производной меняется с "-" на "+", значит, у функции есть локальный минимум в точке x=-1.

При x=1: f'(1)=-3*1^2+3=0
Знак производной меняется с "+" на "-", значит, у функции есть локальный максимум в точке x=1.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;3]:
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [1;3] достаточно найти значения функции в концах отрезка и в точках экстремумов:
f(1)=-1^3+31+2=-1+3+2=4
f(3)=-3^3+33+2=-27+9+2=-16
f(-1)=-(-1)^3+3*(-1)+2=1-3+2=0

Таким образом, наибольшим значением на отрезке [1;3] является 4, а наименьшим значением является -16.