Дано дифференциальное уравнение:
1) x^2*y’ - e^y = 0

Дифференцируем обе части уравнения по x:
x^2y’’ + 2xy’ - e^y*y’ = 0

Теперь у нас есть система дифференциальных уравнений:
2) x^2y’ - e^y = 0
3) x^2y’’ + 2xy’ - e^yy’ = 0

Решим первое уравнение:
x^2*y’ = e^y
y’ = e^y / x^2

Подставим это во второе уравнение:
x^2(e^y / x^2) ’ - e^y = 0
e^y - e^y = 0

Получаем, что уравнение (1) верно, что и требовалось доказать.

Теперь решим второе дифференциальное уравнение:
y’ = p
y’’ = p’

Подставим найденное значение y’’ в третье уравнение:
x^2p’ + 2xp - e^y*p = 0

Теперь решим данное уравнение.