Для решения производной данной функции, воспользуемся правилом дифференцирования произведения и частного функций.

Исходная функция: [tex]f(x) = \frac{sin^2(2x)}{x^2}[/tex]

Преобразуем ее следующим образом:

[tex]f(x) = sin^2(2x) \cdot x^{-2}[/tex]

Применим правило дифференцирования произведения функций:

[tex]f'(x) = (sin^2(2x))' \cdot x^{-2} + sin^2(2x) \cdot (x^{-2})'[/tex]

Для нахождения производной синуса в квадрате используем цепное правило дифференцирования.

Найдем производную sin^2(2x):

tex' = 2 \cdot sin(2x) \cdot (sin(2x))'[/tex]
tex' = 2 \cdot sin(2x) \cdot 2 \cdot cos(2x)[/tex]
tex' = 4 \cdot sin(2x) \cdot cos(2x)[/tex]
tex' = 2 \cdot sin(4x)[/tex]

Найдем производную x^(-2):

tex' = -2 \cdot x^{-3}[/tex]
tex' = -2/x^{3}[/tex]

Подставляем найденные производные обратно в исходное уравнение:

[tex]f'(x) = 2 \cdot sin(4x) \cdot x^{-2} - 2 \cdot sin^2(2x) \cdot x^{-3}[/tex]

Итак, производная данной функции равна:

[tex]f'(x) = 2 \cdot sin(4x) \cdot \frac{1}{x^{2}} - 2 \cdot sin^2(2x) \cdot \frac{1}{x^{3}}[/tex]