Для решения данной производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:

Если дано произведение двух функций u(x) и v(x), то производная их произведения равна произведению производной первой функции и второй функции плюс произведению первой функции и производной второй функции:

tex' = u'v + uv'[/tex]

Теперь мы можем вычислить производную функции [tex]f(x) = \sin(e^x) \cdot \cos(\ln(x))^2[/tex]:

[tex]u(x) = \sin(e^x), \quad v(x) = \cos(\ln(x))^2[/tex]

[tex]u'(x) = \cos(e^x) \cdot e^x, \quad v'(x) = -2\cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x}[/tex]

Подставляем значения в формулу для производной произведения функций:

[tex]f'(x) = (\cos(e^x) \cdot e^x) \cdot \cos(\ln(x))^2 + \sin(e^x) \cdot (-2\cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x})[/tex]

В итоге производная данной функции равна:

[tex]f'(x) = \cos(e^x) \cdot e^x \cdot \cos(\ln(x))^2 - 2\sin(e^x) \cdot \cos(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x}[/tex]