Чтобы найти точки экстремума и монотонности функции f(x) = x³ + 3x² - 8, вычислим производную этой функции:

f'(x) = 3x² + 6x

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

3x² + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
x = 0, x = -2

Теперь найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = 6x + 6

Теперь подставим найденные значения x = 0 и x = -2 во вторую производную:

f''(0) = 6 0 + 6 = 6 > 0 (локальный минимум)
f''(-2) = 6 -2 + 6 = -6 < 0 (локальный максимум)

Таким образом, функция f(x) имеет локальный минимум на x = 0 и локальный максимум на x = -2.

Чтобы определить монотонность функции, рассмотрим знак производной в каждом интервале между найденными точками экстремума:

Для x < -2: f'(x) > 0, функция убывает.Для -2 < x < 0: f'(x) < 0, функция возрастает.Для x > 0: f'(x) > 0, функция убывает.

Таким образом, функция f(x) = x³ + 3x² - 8 возрастает на интервале (-2, 0) и убывает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞).