Для вычисления производной по определению функции ( f(x) = 4x^2 + 3x - 5 ) нужно использовать определение производной:

( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} )

Подставим в это определение функцию ( f(x) = 4x^2 + 3x - 5 ):

( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(4(x + h)^2 + 3(x + h) - 5) - (4x^2 + 3x - 5)}}{h} )

( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{4(x^2 + 2xh + h^2) + 3x + 3h - 5 - 4x^2 - 3x + 5}}{h} )

( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{4x^2 + 8xh + 4h^2 + 3x + 3h - 5 - 4x^2 - 3x + 5}}{h} )

( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{3h + 4h^2 + 3}}{h} )

( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (3 + 4h) = 3 )

Таким образом, производная функции ( f(x) = 4x^2 + 3x - 5 ) равна 3.