Для исследования монотонности и экстремумов функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 1, найдем производную функции f'(x):

f'(x) = 3x^2 - 6x

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и найдем значения x:

3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 или x = 2

Теперь проверим знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 2) и (2, +∞):

Для x < 0, беря x = -1, f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0, значит функция возрастает на интервале (-∞, 0).
Для 0 < x < 2, беря x = 1, f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0, значит функция убывает на интервале (0, 2).
Для x > 2, беря x = 3, f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0, значит функция возрастает на интервале (2, +∞).

Таким образом, функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 убывает на интервале (0, 2) и возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞).

Теперь найдем значения функции в точках экстремума:

f(0) = 0^3 - 30^2 + 1 = 1
f(2) = 2^3 - 32^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3

Итак, функция имеет локальный максимум в точке (2, -3) и локальный минимум в точке (0, 1).