Для решения данной задачи нужно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой косинусов.

Обозначим диагонали прямоугольного параллелепипеда за d1, d2 и d3. Также обозначим высоту параллелепипеда за h.

Из условия задачи известно, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусам для диагонали d1 и 60 градусам для диагонали d2. Также стороны основания равны 17 см и 31 см.

Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусам, то можно записать:
tan(45) = h / d1
1 = h / d1
h = d1

С помощью теоремы Пифагора можем записать:
d1^2 = h^2 + 17^2
d1^2 = d1^2 + 289
0 = 289

Мы видим, что уравнение не имеет решения, значит, данная ситуация невозможна. Попробуем рассмотреть другую ситуацию, в которой угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусам для d1 и 45 градусам для d2.

Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусам, то можно записать:
tan(60) = h / d1
sqrt(3) = h / d1
h = sqrt(3) * d1

С помощью теоремы Пифагора можем записать:
d1^2 = h^2 + 17^2
d1^2 = 3 d1^2 + 289
-2 d1^2 = 289
d1^2 = -289 / 2

Мы видим, что решение получилось некорректным, значит, вторая ситуация также невозможна.

Таким образом, задача не имеет решения при указанных условиях.