В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG:GB=AF:FC=1:5. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF
В правильной треугольной пирамиде MABC боковые рёбра равны 10, а сторона основания равна 12. Точки G и F делят стороны основания AB и AC соответственно так, что AG:GB=AF:FC=1:5. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MGF является равнобедренным треугольником. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью MGF
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
а) Для доказательства равнобедренности треугольника MGF проведем высоту из вершины M на сторону GF. Обозначим точку пересечения этой высоты с плоскостью MGF за K.
Так как AG:GB=1:5, то точка G делит сторону AB в отношении 1:5. Аналогично, так как AF:FC=1:5, то точка F делит сторону AC в том же отношении 1:5.
Теперь применим к треугольнику AMK и трапеции AGFB теорему о подобных треугольниках. Получаем, что AM/AG=MK/GF и AB/AG=MK/GF, откуда следует, что AM=AB/6 и MG=AB/12.
Аналогично, применяя теорему о подобии треугольников AMK и FCK, получаем, что AM/AF=MK/GF и AC/AF=MK/GF, откуда следует, что AM=AC/6 и MG=AC/12.
Таким образом, получен равнобедренный треугольник MGF.
б) Площадь сечения пирамиды плоскостью MGF можно вычислить как площадь равнобедренного треугольника с основанием 12 и высотой 10. Используя формулу для площади треугольника S=(1/2)ah, где a - основание, h - высота, получаем S=(1/2)1210=60.
Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью MGF равна 60.