Дано: апофема пирамиды a = 3√2, угол между апофемой и основанием α = 45°

Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3) S_основания a, где S_основания - площадь основания, а - апофема.

Так как пирамида правильная, то треугольник на основании также является равносторонним и его сторона равна a.
Площадь такого треугольника можно найти по формуле: S_основания = (a^2 * √3) / 4, где a - сторона треугольника.

Подставляем данные в формулу для объема:
V = (1/3) ((3√2)^2 √3) / 4 3√2
V = (1/3) (18 3 √3) / 4 * 3√2
V = (54√3) / 12√2
V = 54 / 12
V = 4.5

Ответ: объем пирамиды равен 4.5.