Теорема: Касательная к гладкой кривой в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному из этой точки к центру кривизны.

Доказательство: Пусть дана гладкая кривая и ее касательная в точке касания. Проведем радиус из точки касания к центру кривизны. Обозначим этот радиус как r, а касательную как l.

Пусть M - точка касания кривой и касательной, O - центр кривизны, A - начало радиуса r.

Так как кривая гладкая, то в окрестности точки M существует касательная, которая пересекает ось OX под углом α. Также угол между касательной и радиусом r равен β.

Из геометрических свойств окружности следует, что угол между радиусом и касательной равен углу между радиусом и хордой, проведенной через точку касания (β = α).

Таким образом, угол между касательной и радиусом равен углу между касательной и осью OX. Но по свойствам перпендикуляров, угол между касательной и осью OX равен 90 градусов.

Следовательно, касательная к гладкой кривой в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному из этой точки к центру кривизны.

Таким образом, теорема доказана.