Для нахождения частичного решения данного уравнения нужно составить характеристическое уравнение, а затем решить его.

Характеристическое уравнение для уравнения второго порядка y'' + 10y' + 25y = 0 имеет вид:
λ^2 + 10λ + 25 = 0

Решаем это уравнение:
$\lambda +5$^2 = 0

Отсюда получаем, что у уравнения есть один корень λ = -5 с кратностью 2.

Частичное решение данного уравнения будет иметь вид:
y_p$x$ = $Ax+B$e^$-5x$

Теперь используем начальные условия, чтобы найти коэффициенты A и B.

Условие y'$0$ = 2:
y_p'$x$ = A$-5e^{(}-5x)$ + Be^$-5x$ Подставляем x = 0:
2 = A*$-5$ + B

Условие y$1/5$ = 0:
y_p$1/5$ = $A<em>(1/5)+B$e^$-1$ Подставляем x = 1/5:
0 = $A</em>(1/5)+B$e^$-1$

Решая систему уравнений, найдем коэффициенты A и B:
A = -10
B = -5

Итак, частичное решение уравнения y'' + 10y' + 25y = 0, удовлетворяющее начальным условиям y'$0$ = 2 и y$1/5$ = 0, имеет вид:
y_p$x$ = $-10x-5$e^$-5x$