Для решения данной задачи нам необходимо определить вероятности событий и составить закон распределения случайной величины X.

Пусть X - случайная величина, равная числу израсходованных снарядов. Тогда X может принимать значения 1, 2, 3, 4.

Вероятность попадания снаряда в мишень = 0,8.
Вероятность промаха = 0,2.

Тогда вероятность использования одного снаряда:
P$X=1$ = 0,2^0 0,8 = 0,8
Вероятность использования двух снарядов:
P$X=2$ = 0,2^1 0,8 = 0,16
Вероятность использования трёх снарядов:
P$X=3$ = 0,2^2 0,8 = 0,032
Вероятность использования четырёх снарядов:
P$X=4$ = 0,2^3 0,8 = 0,0064

Теперь можно записать закон распределения:
X | 1 | 2 | 3 | 4

P$X$ | 0,8 | 0,16 | 0,032 | 0,0064

Теперь определим математическое ожидание M$X$ случайной величины X:
M$X$ = 10,8 + 20,16 + 30,032 + 40,0064 = 1,768

Итак, математическое ожидание случайной величины X, равной числу израсходованных снарядов, составляет 1,768.