Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим длину проекции наклонной АР как x.

Таким образом, имеем прямоугольный треугольник ARO, где AR - гипотенуза, AO - катет, а x - проекция гипотенузы на плоскость.

Так как треугольник ARO прямоугольный, то можем записать:

(AO^2 + x^2 = AR^2)

Подставляем известные значения: (30^2 + x^2 = AR^2)

(AR = \sqrt{900 + x^2})

Теперь рассмотрим треугольник ВСА. Так как наклонная АР перпендикулярна прямой ВС, то угол между ними составляет 90°. Тогда можем записать:

(cos(60^\circ) = \frac{BC}{AB})

(cos(60^\circ) = \frac{BC}{50})

(BC = 50cos(60^\circ))

Так как AR и BC являются проекциями на одну и ту же прямую, то можем записать:

(AR = \frac{50cos(60^\circ)}{cos(30^\circ)})

Так как (cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), то получаем:

(AR = \frac{50\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{25}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{50}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{3})

Теперь подставляем найденное значение AR в уравнение, которое мы составили ранее:

(\frac{50\sqrt{3}}{3} = \sqrt{900 + x^2})

((\frac{50\sqrt{3}}{3})^2 = 900 + x^2)

(\frac{2500}{3} = 900 + x^2)

(x^2 = \frac{2500}{3} - 900)

(x^2 = \frac{2500 - 2700}{3})

(x^2 = \frac{700}{3})

(x = \sqrt{\frac{700}{3}} = \frac{10\sqrt{21}}{3})

Итак, длина проекции наклонной АР равна (\frac{10\sqrt{21}}{3}) см.