Для нахождения направления наибыстрейшего роста поля температур u(x, y, z) в точке M0(1,1,1), необходимо вычислить градиент поля u(x, y, z) в данной точке и нормализовать полученный вектор.

Градиент поля u(x, y, z) равен:
grad u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) = (3x^2y^2z, 2x^3yz, x^3y^2)

Вычислим градиент поля u(x, y, z) в точке M0(1,1,1):
grad u|_(1,1,1) = (31^21^21, 21^311, 1^3*1^2) = (3, 2, 1)

Нормализуем полученный вектор:
||grad u|_(1,1,1)|| = sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt(14)

Направление наибыстрейшего роста поля температур в точке M0(1,1,1) будет указывать вектор:
(3/sqrt(14), 2/sqrt(14), 1/sqrt(14))

Для нахождения величины наибольшей скорости изменения поля u(x, y, z) в точке M0, нужно вычислить длину градиента поля u(x, y, z) в данной точке:
||grad u|_(1,1,1)|| = sqrt(3^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt(14) = ~3.74

Таким образом, в точке M0(1,1,1) наибольшая скорость изменения поля u(x, y, z) равна примерно 3.74.