Пусть меньший катет треугольника равен x, а больший катет равен y. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

( \frac{x}{y} = \frac{12}{20} )

Упрощаем это уравнение:

( \frac{x}{y} = \frac{3}{5} )

Теперь вспоминаем основные свойства прямоугольного треугольника. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы. Высота, проведенная к гипотенузе, также делит гипотенузу на два отрезка в соотношении 1:1.

Из этих свойств следует, что медиана равна ( \frac{y}{2} ), а высота равна ( \frac{y}{2} ).

Тогда можно составить еще одно уравнение:

( x^2 + (\frac{y}{2})^2 = y^2 )

Подставляем из условия задачи ( x = \frac{3y}{5} ):

( (\frac{3y}{5})^2 + (\frac{y}{2})^2 = y^2 )

Упрощаем и решаем это уравнение:

( \frac{9y^2}{25} + \frac{y^2}{4} = y^2 )

( \frac{36y^2}{100} + \frac{25y^2}{100} = y^2 )

( \frac{61y^2}{100} = y^2 )

( y^2 = \frac{100}{61} \cdot y^2 )

( y^2 = \frac{100}{61} \cdot y^2 )

Теперь можем найти отношение меньшего катета к большему:

( \frac{x}{y} = \frac{3y}{5y} = \frac{3}{5} )

Ответ: Отношение меньшего катета к большему равно 3:5.