Первоначально квадрат 10x10 содержит 10 строк и 10 столбцов, что общим количеством клеток 100.

Если Вася разрежет квадрат на полоски толщиной в одну клетку, то он сможет разрезать каждую строку и каждый столбец на десять частей. Таким образом, он сможет добавить 10 + 10 = 20 полосок.

После этого Петя выбирает число k и удаляет все полоски длины k. Петя может гарантированно удалить k клеток на каждой строке и на каждом столбце, что будет соответствовать удалению 10k клеток (так как всего строк и столбцов 10).

Чтобы определить наибольшее число клеток, которые Петя может гарантированно удалить, нужно максимизировать k. Так как количество клеток в квадрате 10x10 равно 100, нужно найти максимальное число k, при котором 10k <= 100. Очевидно, что максимальное целое число k, которое удовлетворяет этому неравенству, равно 10.

Итак, Петя может гарантированно удалить 10 клеток независимо от действий Васи.