Для начала можно преобразить уравнение, разделив все коэффициенты на 3:

x^3 + (4/3)x^2 - (4/3)x - 1 = 0

Применим метод проб и ошибок, чтобы найти один из корней. Подставим различные целочисленные значения x и найдем, при каком значении уравнение обращается в 0. Путем проверки, найдем, что x = 1 является корнем уравнения.

Теперь можно разделить исходное уравнение на (x-1), чтобы найти квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта:

(x-1)(3x^2 + 7x + 3) = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен 7^2 - 433 = 49 - 36 = 13. Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два корня, и наибольший корень будет находиться на расстоянии sqrt(13) от x = 1.

Таким образом, наибольший корень уравнения 3x^3 + 4x^2 - 4x - 3 = 0 равен x ≈ 1 + sqrt(13).