Для правильного треугольника со стороной a радиус описанной окружности (R) равен a/√3, а радиус вписанной окружности (r) равен a/2√3.

Площадь большего круга (около треугольника) равна π*R^2, и по условию задачи равна 64π. То есть, R^2 = 64. Значит, R = 8.

Площадь меньшего круга (внутри треугольника) равна π*r^2 = π(a/2√3)^2 = a^2/12.

Так как площадь большего круга равна сумме площадей меньшего круга и треугольника, получаем:

64π = π(a^2/12) + S

S = 64π - π(a^2/12)
S = 64π - a^2/12

Так как треугольник правильный, его площадь составляет (a^2*√3)/4.

Подставляем это значение в уравнение:

(a^2*√3)/4 = 64π - a^2/12

Решаем уравнение и находим значение стороны треугольника:

a = 8√6

Теперь подставляем найденное значение стороны обратно в формулу для площади треугольника:

S = (a^2√3)/4
S = ((8√6)^2√3)/4
S = (643√3)/4
S = 48√3

Итак, площадь треугольника равна 48√3.