Для начала преобразуем уравнение:
4sin^2(x) - 4cos(x) - 1 = 0
4(1 - cos^2(x)) - 4cos(x) - 1 = 0
4 - 4cos^2(x) - 4cos(x) - 1 = 0
-4cos^2(x) - 4cos(x) + 3 = 0

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = 16 - 4(-4)3 = 16 + 48 = 64
cos(x) = (-(-4) ± sqrt(64)) / (2*(-4))
cos(x) = (4 ± 8) / (-8) => cos(x) = 1 или cos(x) = -3/2

Так как cos(x) лежит в диапазоне [-1,1], то возможно только cos(x) = 1.
Таким образом, уравнение 4sin^2(x) - 4cos(x) - 1 = 0 превращается в уравнение sin^2(x) - 1 = 0, которое имеет решение sin(x) = 1 или sin(x) = -1.

На отрезке [-5π/2, -3π/2] такое значение y, что sin(y) = 1, не находится. Таким образом, в данном отрезке уравнение не имеет корней.

Поэтому сумма корней (или корень, если они отсутствуют) уравнения 4sin^2(x) - 4cos(x) - 1 = 0, принадлежащих отрезку [-5π/2, -3π/2], равна 0.