Данное уравнение можно переписать в виде:

(x^2 - 16) = 2^y + x^3

Теперь подставим значения переменных x = 0, ±1, ±2, ±3 и ±4 и найдем значения у:

Для x = 0: (0^2 - 16) = 2^y + 0^3
-16 = 2^y
y = -4

Для x = ±1: (1^2 - 16) = 2^y + 1^3
-15 = 2^y
Нет целочисленных решений.

Для x = ±2: (2^2 - 16) = 2^y + 2^3
0 = 2^y
y = 0

Для x = ±3: (3^2 - 16) = 2^y + 3^3
1 = 2^y
Нет целочисленных решений.

Для x = ±4: (4^2 - 16) = 2^y + 4^3
0 = 2^y
y = 0

Таким образом, у уравнения (x+4)(x-4)=2^y+x^3 есть два целочисленных решения: (x, y) = (0, -4) и (x, y) = (±4, 0).