Для поиска площади четырехугольника ABCD можно воспользоваться формулой площади треугольника, зная координаты вершин.

Сначала найдем площадь треугольника ABC:

Найдем длины сторон AB, BC и CA:
AB = √((8-7)^2 + (-1-2)^2) = √(1^2 + (-3)^2) = √(1 + 9) = √10
BC = √((3-8)^2 + (-5+1)^2) = √((-5)^2 + (-4)^2) = √(25 + 16) = √41
CA = √((3-7)^2 + (-5+2)^2) = √((-4)^2 + (-3)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Полупериметр треугольника ABC: p = (AB+BC+CA)/2 = (10+41+5)/2 = 28

Площадь треугольника ABC по формуле Герона:
S_ABC = √(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)) = √(28181323) = √928443 ≈ 963,332

Аналогично найдем площадь треугольника BCD:

Найдем длины сторон BC, CD и DB:
BC = √((3-8)^2 + (-5+1)^2) = √(-5)^2 + (-4)^2 = √(25 + 16) = √41
CD = √((2-3)^2 + (-1+5)^2) = √(-1)^2 + (4)^2 = √(1 + 16) = √17
DB = √((2-8)^2 + (-1+1)^2) = √(-6)^2 + 0^2 = √36 = 6

Полупериметр треугольника BCD: p = (BC+CD+DB)/2 = (41+17+6)/2 = 32

Площадь треугольника BCD:
S_BCD = √(p(p-BC)(p-CD)(p-DB)) = √(32152526) = √312000 ≈ 559,419

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и BCD:
S_ABCD = S_ABC + S_BCD ≈ 963,332 + 559,419 = 1522,751

Ответ: Площадь четырехугольника ABCD ≈ 1522,751.