Для доказательства этого неравенства преобразуем выражение (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000):
(1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000) = 1/1001 + 1/1002 + ... + 1/2000= (1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501)
Так как для любых двух чисел x и y, x + y ≥ 2√(x * y) (неравенство о средних), то:
(1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501) ≥ 2 √[(1/1001 1/2000) (1/1002 1/1999) ... (1/1500 1/1501)]= 2 √[(1/(1001 2000)) (1/(1002 1999)) ... (1/(1500 1501))]= 2 √(1/3003000)= 2 (1/5479)
Таким образом, получаем сумму (1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501) ≥ 2 * (1/5479).
В результате, сумма (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000) будет больше 1/2, так как 2*(1/5479) > 1/2.
Таким образом, неравенство (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000) > 1/2 доказано.
Для доказательства этого неравенства преобразуем выражение (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000):
(1/1001) + (1/1002) + ... + (1/2000) = 1/1001 + 1/1002 + ... + 1/2000
= (1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501)
Так как для любых двух чисел x и y, x + y ≥ 2√(x * y) (неравенство о средних), то:
(1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501) ≥ 2 √[(1/1001 1/2000) (1/1002 1/1999) ... (1/1500 1/1501)]
= 2 √[(1/(1001 2000)) (1/(1002 1999)) ... (1/(1500 1501))]
= 2 √(1/3003000)
= 2 (1/5479)
Таким образом, получаем сумму (1/1001 + 1/2000) + (1/1002 + 1/1999) + ... + (1/1500 + 1/1501) ≥ 2 * (1/5479).
В результате, сумма (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000) будет больше 1/2, так как 2*(1/5479) > 1/2.
Таким образом, неравенство (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000) > 1/2 доказано.