Для исследования возрастания и убывания функции y=3x^5-5x^3 возьмем производную данной функции и найдем ее нули:

y' = 15x^4 - 15x^2 = 15x^2(x^2 - 1) = 15x^2(x + 1)(x - 1)

Теперь найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

15x^2(x + 1)(x - 1) = 0

Отсюда получаем три критические точки: x=0, x=-1, x=1

Проверим знак производной на интервалах между критическими точками:

При x <-1: берем x=-2, например. Тогда y' = 15(-2)^2 (-2+1)( -2-1) = 154(-1)(-3) = 180 > 0, значит функция возрастает на интервале (-бесконечность; -1)

При -1 < x < 0: берем x=-0.5, например. Тогда y' = 15(-0.5)^2 (-0.5+1)( -0.5-1) = 15(0.25)(0.5)(-1.5) = -1.6875 < 0, значит функция убывает на интервале (-1; 0)

При 0 < x < 1: берем x=0.5, например. Тогда y' = 15(0.5)^2 (0.5+1)(0.5-1) = 15(0.25)1.5(-0.5) = -1.6875 < 0, значит функция убывает на интервале (0; 1)

При x > 1: берем x=2, например. Тогда y' = 15(2)^2 (2+1)(2-1) = 15431 = 180 > 0, значит функция возрастает на интервале (1; +бесконечность)

Итак, функция y=3x^5-5x^3 возрастает на интервалах (-бесконечность; -1) и (1; +бесконечность), а убывает на интервалах (-1; 0) и (0; 1).