Для того чтобы найти количество натуральных чисел, которые удовлетворяют условию задачи, нужно разложить число 102 на простые множители: 102 = 2 3 17

Заметим, что для того чтобы натуральное число было кратно 102, оно должно содержать все простые множители числа 102 (2, 3 и 17).

Теперь посмотрим на числа 14 и 15: 14 = 2 7, 15 = 3 5

Очевидно, что те натуральные числа, которые делятся на 14 или на 15, содержат в себе соответственно множители 2 и 7 или 3 и 5.

Таким образом, для того чтобы натуральное число было кратно 102, но не кратно ни 14, ни 15, его должно быть кратно 2, 3 и 17, но не должно быть кратно ни 7, ни 5.

Числа, которые удовлетворяют этим условиям – это числа, которые делятся на 102 и не делятся на 14 и 15. Исключив из всех натуральных чисел, не превышающих 10,000, натуральные числа, которые делятся на 14 и 15 (т.е. на их НОК, равное 210), мы найдем количество чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Чисел, делящихся на 210, не превышающих 10,000, найдем, разделив 10,000 на 210 и округлив результат в меньшую сторону: 10,000 / 210 ≈ 47

Таким образом, всего существует 47 натуральных чисел, не превышающих 10,000, которые делятся на 102, но не делятся ни на 14, ни на 15.