Чтобы доказать, что сумма цифр натурального числа увеличивается в 8 раз при умножении на 8, можно воспользоваться следующим рассуждением:

Пусть у нас есть натуральное число n с суммой цифр S. При умножении этого числа на 8, получим число 8n. Рассмотрим сумму цифр числа 8n:

Сумма цифр числа 8n = 8 * S

Таким образом, мы видим, что сумма цифр числа увеличивается в 8 раз при умножении на 8.

Для доказательства того, что сумма цифр натурального числа уменьшается в 8 раз при умножении на 8, можно воспользоваться подобным рассуждением:

Пусть у нас есть натуральное число n с суммой цифр S. Представим это число в виде суммы разрядов:

n = a + b + c + ...

При умножении числа n на 8, все цифры числа умножаются на 8, что приводит к увеличению суммы цифр в 8 раз. Таким образом, мы получаем число 8n со суммой цифр, увеличившейся в 8 раз относительно суммы цифр числа n.

Поэтому сумма цифр натурального числа уменьшается в 8 раз при умножении на 8.