Для того чтобы система имела хотя бы одно решение, раскроем второе уравнение системы {x-2y=a} и подставим значение x из него в первое уравнение системы:

{x = 2y + a

{4y^2 + 4ay + a^2 - 2y(2y + a) + 3y^2 = 6
{4y^2 + 4ay + a^2 - 4y^2 - 2ay + 3y^2 = 6
{4ay + a^2 + y^2 = 6
{y^2 + 4ay + a^2 - 6 = 0

Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при значениях a, при которых дискриминант квадратного уравнения y^2 + 4ay + a^2 - 6 = 0 не меньше нуля:

D = (4a)^2 - 4 1 (a^2 - 6) >= 0
D = 16a^2 - 4a^2 + 24 >= 0
D = 12a^2 + 24 >= 0
12a^2 >= -24
a^2 >= -2
a >= -sqrt(2) или a <= sqrt(2)

Таким образом, все значения a, при которых система имеет хотя бы одно решение, это a принадлежащее интервалу [-sqrt(2), sqrt(2)].