Пусть радиус вписанной окружности равен r, а боковые стороны равнобедренного треугольника равны a. Тогда известно, что радиус вписанной окружности равен 128 см.

Так как косинус угла при основании треугольника равен 7/9, то мы можем найти высоту треугольника по формуле: h = a √(1 - (cos^2(α))) = a √(1 - (7/9)^2) = a √(1 - 49/81) = a √(32/81) = (4√2/3) * a

Также, известно, что площадь равнобедренного треугольника можно выразить двумя способами:
S = (1/2) a h
S = (p r) / 2
где p - полупериметр треугольника, равный (a + a + (a √2))/2 = (2a + a√2)/2 = ((a * (2 + √2))/2

Из двух формул выше мы можем выразить a:
(1/2) a ((4√2/3) a) = ((a (2 + √2))/2 r)/2
a^2 4√2/3 = a((2+√2)/2)r / 2
4√2/3 = (2 + √2)r / 4
√2 = (2 + √2) r / 3
√2 3 = 2r + √2 r
3√2 = r(2 + √2)
3√2 = 2r + √2r
r = 3

Таким образом, радиус окружности, касающейся вписанной окружности этого треугольника и двух его боковых сторон, равен 3 см.