1) Так как образующая конуса, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, то можем воспользоваться тригонометрическими функциями. Угол между образующей и плоскостью основания обозначим как α.

l^2 = r^2 + h^2, где r - радиус основания конуса
24^2 = r^2 + 12^2
576 = r^2 + 144
r^2 = 432
r = √432 = 12√3

Теперь найдем тангенс угла α:
tgα = h / r = 12 / 12√3 = 1 / √3 = √3 / 3

Отсюда находим угол α:
α = arctg(√3 / 3) ≈ 30°

Итак, угол между образующей и плоскостью основания конуса составляет приблизительно 30°.

2) Аналогично, вычисляем радиус основания:
l^2 = r^2 + h^2
12^2 = r^2 + (6√3)^2
144 = r^2 + 108
r^2 = 36
r = 6

Тангенс угла:
tgα = h / r = 6√3 / 6 = √3

Угол α:
α = arctg√3 ≈ 60°

Угол между образующей и плоскостью основания конуса составляет примерно 60°.

3) Аналогично определяем радиус основания:
(5√2)^2 = r^2 + 15^2
50 = r^2 + 225
r^2 = -175

Решения нет, так как результат отрицательный. Вероятно, в задании допущена ошибка.