1) Разобьем боковое ребро пирамиды на две составляющие: одна составляющая будет равна a/2 (половина бокового ребра), а другая составляющая будет asin(60°) = asqrt(3)/2 (высота боковой грани), тогда получим прямоугольный треугольник с катетами a/2 и asqrt(3)/2. По теореме Пифагора найдем стороны основания:
a^2/4 + (asqrt(3)/2)^2 = b^2
a^2/4 + 3a^2/4 = b^2
4a^2/4 = b^2
b = a*sqrt(2)/2

2) Объем пирамиды можно найти по формуле: V = (1/3)Sh, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.
Так как боковое ребро пирамиды равно а, то стороны основания также равны asqrt(2)/2. Зная, что основание пирамиды - квадрат со сторонами asqrt(2)/2, найдем его площадь: S = (asqrt(2)/2)^2 = a^2/2
Теперь найдем высоту пирамиды h, используя тригонометрию:
sin(60°) = h/a
sqrt(3)/2 = h/a
h = asqrt(3)/2

Подставляем значения в формулу для объема:
V = (1/3) (a^2/2) (asqrt(3)/2)
V = a^3 sqrt(3)/12
Ответ: объем пирамиды равен a^3 * sqrt(3)/12.