Для того чтобы найти значения а, при которых функция убывает на R и имеет критическую точку, нужно найти производную данной функции и приравнять ее к нулю:
[tex]y' = 3(a+1)x^{2}+12x+2(a+1)[/tex]

Далее приравниваем производную к нулю и находим значение x:
[tex]3(a+1)x^{2}+12x+2(a+1) = 0[/tex]

Теперь подставляем найденные значения x обратно в исходное уравнение и приравниваем к нулю:
texx^{3} + 6x^{2} + 2(a+1)x + 1 = 0[/tex]

Полученное уравнение необходимо решить относительно a.
Если для найденных значений x выполняется неравенство y'>0, то эти значения x будут критическими точками.

Теперь найдем значения a, при которых функция убывает на R и не имеет критических точек. Для этого рассмотрим производную и проверим ее знак.
Если производная будет отрицательной на интервале R, то функция будет убывать на R и не иметь критических точек.

Таким образом, исследование зависит от значения параметра a, в соответствии с приведенными выше рекомендациями.