Для решения методом Гаусса системы уравнений, представленной в виде матрицы:

1 -1 2 -1 | 1
2 1 3 -2 | -4
3 2 5 1 | 2
-1 3 1 4 | 3

Применим элементарные преобразования, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду:

1 -1 2 -1 | 1
0 3 -1 0 | -6
0 5 -1 4 | -1
0 2 3 3 | 4

1 -1 2 -1 | 1
0 1 -1/3 0 | -2
0 5 -1 4 | -1
0 2 3 3 | 4

1 -1 2 -1 | 1
0 1 -1/3 0 | -2
0 0 8/3 4 | 9
0 0 9/3 3 | 8

1 -1 2 -1 | 1
0 1 -1/3 0 | -2
0 0 1 12/8 | 27/8
0 0 0 1 | 8/3

Из последней строки системы видно, что x4 = 8/3. Подставляем это значение обратно в предыдущие уравнения и находим остальные переменные:

x3 = 27/8 - 12/8 = 15/8
x2 = -2 + 1/3 * 15/8 = -21/8
x1 = 1 + 15/8 - 42/8 = -17/8

Итак, решение системы уравнений методом Гаусса: x1 = -17/8, x2 = -21/8, x3 = 15/8, x4 = 8/3.