1) Решение:

Используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа:
L(x,y,λ) = xy + λ(x+y-1)

Найдем частные производные по x, y и λ:
∂L/∂x = y + λ = 0
∂L/∂y = x + λ = 0
∂L/∂λ = x + y - 1 = 0

Из первых двух уравнений найдем x и y:
y = -λ
x = -λ

Подставим найденные значения в третье уравнение:
-λ - λ - 1 = 0
-2λ = 1
λ = -1/2

Теперь найдем x и y:
y = -(-1/2) = 1/2
x = -(-1/2) = 1/2

Таким образом, найден экстремум функции z=xy при условии x+y=1: z=1/4.

2) Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в указанной области необходимо проверить значения функции в узлах и на границах области.

В узлах области:
Подставим значения x=5 и y=0 в функцию z:
z = 5^2 - 250 - 0^2 + 4*5 + 1
z = 25 + 20 + 1
z = 46

На границе x+y-10=0:
Из этого уравнения получаем, что x=10-y.
Подставляем это значение в функцию z:
z = (10-y)^2 - 2(10-y)y - y^2 + 4(10-y) + 1
z = 100 - 20y + y^2 - 20y - 2y^2 - y^2 + 40 - 4y + 1
z = -3y^2 - 25y + 141
z = -3(y^2 + 8.33y - 47)

Найдем вершину параболы -x = -8.33/6 = -1.38, где x = -b/(2a)
Подставляем полученный x в z:
z = -(8.33/6)^2 - 8.33*8.33/6 + 141
z = 24.24

На границе y=0:
Подставляем y=0 в функцию z:
z = x^2 - 2x*0 - 0^2 + 4x + 1
z = x^2 + 4x + 1

Вычислим экстремум функции z=x^2+4x+1. Для этого найдем вершину параболы x = -b/(2a):
x = -4/(21) = -2
Итак, z = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3

Таким образом, наибольшее значение функции z=^2-2xy-y^2+4x+1 в области равно 46 (в узлах), а наименьшее значение равно -3 (на границе y=0).