Для доказательства, что число n² +n + 9 не делится на 25 для любого натурального числа n, можно воспользоваться методом допущения от противного.

Предположим, что число n² + n + 9 делится на 25 для некоторого натурального числа n. Тогда существует целое число k, такое что:

n² + n + 9 = 25k

Преобразуем это равенство:

n² + n + 9 = 25k

n² + n + (25 - 16k) = 0

Дискриминант квадратного уравнения равен:

D = 1 - 4(25 - 16k) = -99 + 64k

Так как дискриминант является отрицательным числом, то уравнение n² + n + 9 = 25k не имеет целочисленных корней. Следовательно, исходное утверждение доказано: число n² + n + 9 не делится на 25 ни при каком натуральном числе n.